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電磁場解析/電磁界解析手法 積分要素法

電磁場解析/電磁界解析手法 積分要素法

電磁場解析/電磁界解析手法 積分要素法

電磁場解析の手法として「有限要素法」が広く用いられています。
「有限要素法」は微分方程式に基づいており、物体の相互作用は空間も含めて隣同士に伝わっていくとして連立方程式を解きます。
多くのベンダーから各種の製品が商品化されており、汎用的に用いられている解析手法です。
しかし、「有限要素法」では、解析対象の領域内にあるすべての物体と共に空間もメッシュ分割しなければならないので、
・無限空間を含むような開領域問題(境界条件の設定)
・複数の物体が空間内を運動するような問題(空間メッシュのよじれ)
などの問題には適していません。

一方、空間メッシュが不要で高速な手法としては、「磁気モーメント法」、「表面電荷法」、「境界要素法」などがあります。
これらは積分方程式に基づいた解析手法であり「積分方程式法」の一種です。

「磁気モーメント法」や「表面電荷法」は、磁気モーメントや表面電荷などの物理量を変数にして、離れた物体の直接の相互作用を計算し、連立方程式で解く物理学的手法です。

磁気モーメント法
磁気モーメント法」による磁石が作る磁場の計算。(計算時間1秒以下)

表面電荷法
表面電荷法」による電極の電位の計算。(計算時間1秒以下)

これらの手法は有限要素法に比べて非常に高速ですが、それぞれ大きな欠点があり、実用化が困難でした。
例えば、「境界要素法」は、磁気飽和などの非線形問題が扱えません。
「磁気モーメント法」や「表面電荷法」は、磁性体や誘電体では正しく計算できないケースが発生します。

弊社ではこの問題を解決するため、「磁気モーメント法」の要素の対面の分極磁荷に独立した変数を与えて磁性体でも正しく計算できる要素を開発し、分極磁荷要素と名付けました。
また、渦電流や誘導電流も計算できる(渦)電流要素も開発しました。
そして、これらの分極磁荷要素、(渦)電流要素、磁気モーメント要素、表面電荷要素などを併用・統合した解析手法を『 積分要素法 』と名付けました。

「磁気モーメント法」や「表面電荷法」では正しく計算できない問題でも
『積分要素法』では正しく計算できるような例を以下に紹介します。
磁気モーメント法と積分要素法
左が「磁気モーメント法」、右が『 積分要素法 』(分極磁荷要素)です。
下にある1個の磁石要素から送られた磁束が、「磁気モーメント法」では直進しループを描いてしまいます。『 積分要素法 』は磁束が右方向にも分岐して正しく解けています。

表面電荷法と積分要素法
左が「表面電荷法」、右が『 積分要素法 』(分極電荷要素)です。
比誘電率が20の誘電体の上下に電極があります。
「表面電荷法」では誘電体内部を通って上部に伝わる電束がないので誘電体の誘電率の効果があまりありません。『 積分要素法 』では正しく解けています。

まとめると『 積分要素法 』は以下のような特長があります。
・「有限要素法」より高速に計算できる
・空間メッシュや境界条件が不要で扱い易い
・複数の物体が運動しても空間メッシュがよじれない
・空間電場/磁場も解析式により高精度な解が得られる
・スケールの異なる部品の混在が容易
・磁石の解析も容易
・「磁気モーメント法」や「表面電荷法」では正しく解けない問題にも対応
・荷電粒子軌道の計算では空間メッシュ不要で、電場や磁場はソースから直接計算するので高精度

磁気モーメント法

磁気モーメント法

磁気モーメント法は物体を立体要素で分割し、要素の個々の磁気モーメントに変数を与えて解く手法です。

<計算手法>
(1) コイルと複数の小さな磁性体があるとします。
(2) コイルに電流が流れると各磁性体が磁化します。
(3) 各磁性体は磁場を発生し、他の磁性体をさらに磁化します。
(4) この磁性体の相互作用を連立方程式で解くと磁性体の磁化が決まります。
(5) 磁化が分かれば任意の場所の磁場が計算できます。

磁気モーメント法
「磁気モーメント法」によるコイルと磁性体が作る磁場の計算。(計算時間1秒以下)

しかし「磁気モーメント法」では要素内での磁気モーメントが一定としているので、磁気モーメントが柔軟に曲がれず直進性が強くなってしまい、正しく計算できないケースが発生します。

詳しく説明しますと、

隣同士接している2要素間の面では分極磁荷が相殺しながら繋がっていくので、面の両側の磁気モーメントが同じになり易くなります。
要素の磁気モーメントが一定だとすると、さらに隣の要素の磁気モーメントも同じになり易くなります。

そのため磁気モーメントが直進し易くなり、例えば、別の場所をループして戻ってくるような おかしな結果が得られてしまう事があります。(ルーピングパターン)

磁気モーメント法と積分要素法
左が「磁気モーメント法」、右が『 積分要素法 』(分極磁荷要素)です。
下にある1個の磁石要素から送られた磁束が、磁気モーメント法では直進しループを描いてしまいます。『 積分要素法 』は磁束が右方向にも分岐して正しく解けています。

表面電荷法

表面電荷法

表面電荷法は物体の表面を平面要素で分割し、要素の個々の電荷に変数を与えて解く手法です。

<計算手法(電極の場合)>
(1) 複数の電極があるとします。
(2) 各電極の電荷が作る電位はクーロンの法則によって計算できます。
(3) 逆に各電極の電位を指定した場合、電極の電荷を未知数として連立方程式を解くと電極の電荷が計算できます。
(4) 電極の電荷が分かれば任意の場所の電位と電場が計算できます。

表面電荷法
「表面電荷法」による電極の電場の計算。(計算時間1秒以下)

しかし「表面電荷法」は誘電体内部に分極を担う変数が無く、分極電荷が相殺しながら繋がっていく状態を考慮しないため、細長い誘電体が正しく計算できないケースが発生します。

表面電荷法と積分要素法
左が「表面電荷法」、右が『 積分要素法 』(分極電荷要素)です。
比誘電率が20の誘電体の上下に電極があります。
「表面電荷法」では誘電体内部を通って上部に伝わる電束がないので誘電体の誘電率の効果があまりありません。『 積分要素法 』では正しく解けています。

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